Korunní exponenciála

Dnes vycházejí dva články zároveň. Oba od Mastera. Tento je takové matematické abrakadabra pro ty, kteří si chtějí zapolemizovat o číslech a statistice. Navrhuji proto, aby se o tématu diskutovalo pod tím druhým článkem, kdežto pod tímto, aby se diskutovalo opravdu jen o matematice a statistice. 

Z diskuze o grafu, který jsem připravil, vyplynulo, že matematika, která je skrytá za epidemiologickými opatřeními, je vskutku neintuitivní. Sám se považuji za vcelku matematicky schopného (má na to doktoráty, červené diplomy a zpravidla když mluví o číslech, tak i staří pardáli zbožně naslouchají - pozn. Vidláka), avšak, jak nad tím přemýšlím, sám jsem vždy a znovu udivován nad tím, jaké zákonitosti na úrovni čisté matematiky platí v epidemiologii, když se vám někde rozmáhá Koroňák.

Proto jsem se chtěl v dnešním článku podívat na několik zákonitostí, které platí, a které jdou zcela proti přirozenému lidskému uvažování. Budu se věnovat několika omylům, které v pojetí epidemie obecně panují. Pojďme si je uvést na pravou míru.

Omyl č. 1: Koroňák se může šířit skrze bezpříznakové jedince. Dokud je nebudeme testovat, nic nám nepomůže. - Inu, tak jednoduché to není. Problém je v tom slově "může". Může se totiž stát spoustu věcí. Korona pozitivní řidič jedoucího vozu může vykašlat mrak viru, do kterého zafouká vítr zrovna tak šikovně, že ten mrak odfoukne do protijedoucího auta, kde nakazí druhého řidiče. Stát se to opravdu může. Všichni ale cítíme, že kdyby zrovna na tohleto Koroňák spoléhal, zajde velmi rychle na úbytě. Pravděpodobnost, že by se něco takového stalo bude tak na úrovni pravděpodobnosti, že vás zasáhne meteorit. Epidemiologicky je to zcela nezajímavé, protože se v průběhu celé epidemie takový přenos stane tak maximálně jednou, jestli vůbec. Skrze takové přenosy se prostě Koroňák nerozšíří, i kdyby se na glykoprotein postavil. Z epidemiologického hlediska tak nestačí informace, že se nějaký přenos stát může, ale je důležité vědět kvantitu - jak často takový přenos opravdu nastává. Vir prostě potřebuje ke svému šíření nějakou kvantitu přenosů infekce. Do určitého bodu mu to nestačí a nerozšíří se. Až od určité chvíle, kdy ta kvantita přesáhne určitou mez, pak se teprve skutečně začně epidemie šířit. Můžeme tak rozlišit takové tři základní kvantity:

• Zcela marginální přenos, který nemá šanci závažně ovlivnit epidemiologickou situaci. Sem můžeme zařadit například onen přenos z jedoucího auta do jedoucího auta.
• Přenosy, které by samy o sobě nestačily k šíření viru, ale v kombinaci s dalšími přenosy už vir překročí kritickou mez šíření. Sem zcela jistě patří i šíření po bezpříznakových jedincích.
• Přenosy, které už samy o sobě překračují kritickou mez šíření viru.

 A jaká je ta kritická mez, kdy se teprve vir začíná v populaci šířit? No, každý nakažený musí za dobu své infekčnosti nakazit průměrně aspoň jednoho dalšího. Pokud nakazí v průměru méně, než jednoho dalšího, společnost nemusí dělat vůbec nic a vir ze společnosti stejně zmizí. To neznamená, že by se už nikdo nikdy nenakazil! K nákaze dál dochází. Ale každá další generace viru má méně a méně hostitelů, až jednoho dne žádný další hostitel prostě nebude viru k dispozici. Virus zmizel z populace.

 A přesně proto se v epidemiologii mluví o reprodukčním číslu viru. Tedy o tom, kolik dalších lidí jeden nakažený v průměru nakazí. To reprodukční číslo není pouze vlastností viru, ale také vlastností prostředí, ve kterém se šíří. Reprodukční číslo může jít ovlivnit různými opatřeními, které společnost příjme za své. Můžeme mluvit o reprodukčním čísle viru jako celku, můžeme mluvit o dílčích částech reprodukčního čísla. (například, kolik průměrně lidí se nakazí z bezpříznakového přenosu). Platí:

• Je-li reprodukční číslo viru větší než 1, vir se nekontrolovaně šíří společností - vir vyhrává.
• Je-li reprodukční číslo viru rovno přesně 1, je to remíza. Vir se šíří, ale kontrolovaně, stálou rychlostí. Jedná se samozřejmě o nestabilní stav, který má tendenci sklouznout do jedné ze zbývajících možností.
• Je-li reprodukční číslo viru menší než 1, vir ustupuje - vyhrává lidstvo. Vir za nějakou dobu sám vymizí.

A je samozřejmě potřeba myslet na to, že reprodukční čísla jednotlivých druhů přenosů se vzájemně sčítají. Budeme-li mít tedy nějaký hypotetický virus, který bude mít reprodukční číslo bezpříznakového přenosu 0.8 a reprodukční číslo příznakového přenosu 0.7, má celý virus reprodukční číslo 1.5, což znamená, že už se nám virus bez problémů nekontrolovaně šíří společností. U tohoto viru, pokud by se nám podařilo zarazit příznakové přenosy, snížilo by se reprodukční číslo viru na 0.8, což už by bohatě stačilo na to ten vir ze společnosti vypudit. A to přesto, že bezpříznakové přenosy by se netknutě nechaly dále běžet.

Závěr: To, že se nějaký přenos infekce stát může je epidemiologicky zcela nezajímavá informace. Epidemiologicky zajímavé jsou pouze přenosy, které se stávají signifikantně často. Relevanci jednotlivých druhů přenosů přitom můžeme kvantifikovat reprodukčním číslem. Epidemiologická opatření proti viru se nastavují tak, aby cílila na ty složky reprodukčního procesu viru, které mají velkou kvantitu (velké reprodukční číslo). Na složky malé kvantity se vůbec není potřeba zaměřovat.

Omyl č. 2: Málo testujeme, proto jsou data z ministerstva zdravotnictví nezajímavá. - Ani zde zdaleka není ta situace tak jednoduchá, jak to může vypadat na první pohled. Otázka testování je taktéž jistě zajímavá. Zde je ale potřeba si zejména uvědomit, jaké jsou důvody k testování. Epidemiologicky totiž můžou být dva:

• Testujeme, abychom zjistili nějaké údaje o epidemii a mohli zjišťovat trendy, které ta či ona epidemie má.
• Testujeme, jako zbraň na virus. Pozitivní jedince dáváme do izolace, aby už nenakazili nikoho dalšího. Testy se přímo používají ke snížení reprodukčního čísla viru.

 V praxi je to potom tak, že se stejné testování používá současně k oběma dvěma účelům. Jistě je jasné, že pokud chceme používat testy jako zbraň, pak platí, že každé množství testů je malé, protože čím víc budeme testovat, tím víc snížíme reprodukční číslo a tím rychleji nám epidemie zanikne. Pokud nám ale jde jenom o to sledovat trendy, jaké ta epidemie má, vůbec nepotřebujeme velkou protestovanost. Zachytíme-li totiž statisticky testy jenom nějaké dané procento nakažených (a to procento může být úplně libovolné, ale pevné), bohatě nám to postačí k tomu, abychom zjistili:

• Zda se epidemie šíří nebo zaniká.
• Jak rychle se epidemie šíří nebo zaniká.
• Můžeme z toho stanovit například reprodukční číslo infekce.

 Všechny tyto věci se totiž odvozují pouze rychlosti růstu, která je pořád stejná, ať jsme pomocí testů zachytili 99% nakažených, nebo třeba 0.01% nakažených. Ano, nemůžeme pomocí testů, kterých je málo, odhadnout skutečné absolutní počty nakažených. To ale nemůžeme ani v případě, že testů máme hodně. To by šlo zjistit pouze, pokud bychom udělali zcela plošné testy pro úplně všechny. Na to ale ani náhodou nejsou kapacity.

 Závěr: Intenzivní testování je velmi důležité, cílíme-li tím na reprodukční číslo viru, které tím chceme snížit. K tomu, abychom ale věděli některé důležité údaje o epidemii (např. to reprodukční číslo) nám bohatě postačí údaje z relativně malého vzorku testů.

Omyl č. 3: Abychom se epidemie zbavili, musíme najít všechny nakažené. - Nemusíme. Stačí nám, aby se celkové reprodukční číslo viru snížilo pod 1. Struktura lidské společnosti je přitom taková, že pokud je reprodukční číslo větší než 1, epidemie se šíří a to exponenciálně rychle společností. Exponenciálně rychle znamená, že počet nových případů každý den je větší o stejné procento předchozího dne. Na začátku epidemie jsme tu měli rychlost šíření, kdy počet nakažených byl každý den o 20% vyšší než den předchozí. Tomu přitom nejde nijak zabránit. Mezi reprodukčním číslem viru a denním procentním nárůstem počtu nakažených je přímý vztah. Na absolutních počtech přitom nezáleží. Jestli se počet nakažených zvýšil ze 100 na 120, nebo z 1000 na 1200, obojí dvojí odpovídá stejnému reprodukčnímu číslu.

Mimochodem - rychlost šíření viru ve skutečnosti závisí na dvou faktorech: 1. na reprodukčním číslu viru, 2. na střední době, kdy dojde k infekci dalšího člověka. To druhé se přitom velmi špatně stanovuje a v případě našeho Koroňáčku pro to existují asi jenom odhady. Na druhou stranu, můžeme si pomoci přepočtem reprodukčního čísla na jeden den. Virus, který má reprodukční číslo 2 se střední dobou nákazy za 2 dny se bude šířit společností stejně rychle jako virus, který má reprodukční číslo 1.414 se střední dobou do nákazy 1 den. To je mimochodem také přesně to, s čím pracuje můj graf: Ten ukazuje, jaké by bylo reprodukční číslo Koroňáku, kdyby byla střední doba do nákazy dalšího člověka 1 den. (to reprodukční číslo je navíc logaritmované, ale to má vliv jenom na to, že výsledek je převeden do lineárního tvaru)

Závěr: V závislosti na reprodukčním čísle viru existují jenom tři stavy, co se může ve společnosti dít:

• Vir se nekontrolovaně šíří společností, je-li jeho reprodukční číslo větší než 1.
• Vir se společností šíří, ale počty nakažených jsou plus minus každý den stejné - pak nastává ta křehká labilní pozice, kdy je reprodukční číslo viru přesně 1
• Reprodukční číslo viru je menší než 1 a vir přirozeně zaniká.

Abychom se epidemie zbavili, bohatě nám postačí dostat reprodukční číslo pod 1 a zbytek se stane úplně sám. Je samozřejmě potřeba ho dostat pod 1 i s nějakou rezervou, protože bude-li jenom malinko pod 1 (třeba 0.99999), jednou bychom se toho viru stejně zbavili, ale jednak to bude trvat dlouho a jednak hrozí, že další jiné podmínky, které nejsou pod naší kontrolou to číslo zase vystřelí nad 1.

A na úplný závěr bych se vrátil ještě chvíli ke svému grafu, který jsem vám prezentoval: Ten graf právě vyjadřuje, jak je to s tím reprodukčním číslem Koroňáku. Je-li hodnota v grafu nad 0, je reprodukční číslo větší než 1 a infekce se šíří, je-li hodnota v grafu pod 0, reprodukční číslo je menší než 1 a infekce zaniká. Podíváte-li se pozorně, tak na začátku byla v grafu fáze, kdy bylo reprodukční číslo větší než 1 a to dokonce podstatně, ale postupně se snižovalo a snižovalo, až se dostalo do současného stavu, kdy je to číslo velmi těsně pod 1. Vir nám tedy zaniká, ale je to velmi těsné. Za současné situace by zánik trval hodně dlouho a navíc hrozí, že uvolňování opatření to zase dostanou nad 1. Bude tedy zajímavé sledovat, jak se nám vyvíjí reprodukční číslo dále i v souvislosti s postupným uvolňováním dalších opatření.